Đồ thị trả lời câu hỏi nhanh hơn đại số, nhưng chỉ khi bạn biết cần tìm đặc điểm nào và tin được hình vẽ đến đâu. Bài này đi qua năm điều giáo viên thường hỏi (nghiệm, giao điểm với trục tung, điểm cực trị, tiệm cận và giao điểm của hai đồ thị) bằng ba hàm số bạn có thể tự nhập vào công cụ vẽ đồ thị hàm số. Mọi con số dưới đây là kết quả công cụ báo trong khung nhìn mặc định, x từ −10 đến 10, làm tròn sáu chữ số có nghĩa.
Bắt đầu từ tỉ lệ
Trước khi đọc gì, hãy nhìn hai trục. Công cụ giữ một đơn vị dài bằng nhau trên cả hai trục, nên đường 45° đúng là y = x và đường tròn trông tròn. Nhiều hình trong sách hay biểu đồ bảng tính thì không: chúng kéo giãn trục y cho đầy khung, khiến một độ dốc nhẹ trông rất dốc. Cũng để ý khoảng cách lưới. Nếu các vạch lưới cách nhau 2 đơn vị, một điểm nằm giữa hai vạch ứng với số lẻ, không phải số chẵn kế tiếp.
Nghiệm: nơi đường cong gặp y = 0
Nghiệm là giá trị x mà f(x) = 0, tức đường cong nằm trên trục hoành. Xét
f(x) = x² − x − 6
Đồ thị là parabol quay lên, cắt trục hoành hai lần. Công cụ liệt kê nghiệm x = −2 và x = 3. Kiểm tra bằng phân tích nhân tử: x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2), bằng 0 đúng khi x = 3 hoặc x = −2.
Nghiệm có hai loại, và hình vẽ cho biết loại nào:
- Nghiệm cắt. Đường cong đi từ phía này sang phía kia trục, nên f đổi dấu. Cả hai nghiệm của x² − x − 6 đều như vậy.
- Nghiệm tiếp xúc. Đường cong hạ xuống chạm trục rồi đi lên lại mà không cắt qua. Với f(x) = (x − 1)², nghiệm duy nhất là x = 1 và f không bao giờ âm. Về đại số đây là nhân tử lặp (nghiệm kép). Phép thử đổi dấu bỏ sót loại này, nên công cụ còn tìm những chỗ |f| giảm tới cực tiểu bằng 0.
Giao điểm với trục tung
Giao điểm với trục tung là f(0), độ cao nơi đường cong cắt trục dọc. Với x² − x − 6 đó là (0, −6): thay x = 0 thì chỉ còn hằng số −6. Đây là cách nhanh nhất để kiểm tra bạn gõ đúng công thức. Nếu đường cong cắt trục tung ở chỗ khác với hằng số, công thức có gì đó sai.
Một hàm có thể không có giao điểm với trục tung: 1/x không xác định tại x = 0, nên đồ thị không bao giờ chạm trục tung.
Điểm cực trị
Điểm cực trị là nơi đường cong thôi đi lên và bắt đầu đi xuống (cực đại địa phương) hoặc ngược lại (cực tiểu địa phương). Parabol có đúng một điểm như vậy, chính là đỉnh. Với x² − x − 6, công cụ báo cực tiểu (0.5, −6.25). Tính tay: đỉnh của ax² + bx + c nằm tại x = −b/(2a) = 1/2, và f(0.5) = 0.25 − 0.5 − 6 = −6.25.
Hàm bậc ba có thể có hai điểm. f(x) = x³ − 3x có cực đại tại (−1, 2) và cực tiểu tại (1, −2). Nghiệm của nó là x = 0 và x = ±√3 ≈ ±1.73205. Để ý các nghiệm nằm hai bên điểm cực trị: giữa hai nghiệm liền nhau của một hàm trơn luôn có ít nhất một điểm cực trị.
Chữ "địa phương" quan trọng. Cực đại tại (−1, 2) là điểm cao nhất ở gần x = −1, không phải điểm cao nhất của cả hàm: x³ − 3x tăng không giới hạn khi x lớn dần.
Tiệm cận
Tiệm cận là đường thẳng mà đồ thị tiến sát nhưng không dừng lại trên đó. Nhập
f(x) = (2x + 1)/(x − 3)
và bạn sẽ thấy hai nhánh.
- Tiệm cận đứng x = 3. Mẫu bằng 0 tại đó nên f không xác định, và gần 3 giá trị vọt lên +∞ ở bên phải, xuống −∞ ở bên trái. Công cụ ngắt đường tại x = 3 thay vì vẽ một vạch đứng; vạch đứng trên đồ thị gần như luôn là lỗi vẽ, không phải một phần của hàm.
- Tiệm cận ngang y = 2. Khi x lớn, +1 và −3 gần như không đáng kể và f(x) xử sự như 2x/x = 2. Thu nhỏ và hai nhánh dẹt dần về đường y = 2.
Cũng hàm này có nghiệm x = −0.5 (tử 2x + 1 bằng 0) và giao với trục tung tại (0, −0.333333), tức −1/3. Nó không có điểm cực trị: cả hai nhánh đều đi xuống ở mọi nơi.
Đổi dấu qua tiệm cận đứng không phải nghiệm. Hàm đi từ −∞ lên +∞ mà không lúc nào bằng 0, nên công cụ loại lần cắt đó.
Giao điểm của hai đồ thị
Nơi hai đường cong gặp nhau, chúng có cùng y với cùng x, nên giao điểm là nghiệm của f(x) = g(x). Vẽ x² − x − 6 cùng với y = 2x. Công cụ cho hai giao điểm:
- (−1.37228, −2.74456)
- (4.37228, 8.74456)
Tính tay: x² − x − 6 = 2x thành x² − 3x − 6 = 0, công thức nghiệm cho x = (3 ± √33)/2. Vì √33 ≈ 5.74456, hai nghiệm là 4.37228 và −1.37228. Giá trị y khi đó là 2x: 8.74456 và −2.74456. Đồ thị và đại số khớp nhau, và đó chính là ý nghĩa: hình vẽ cho biết có bao nhiêu nghiệm và nằm khoảng đâu, còn đại số cho dạng chính xác. Công cụ giải phương trình trình bày các bước đó với căn thức giữ nguyên.
Danh sách kiểm tra khi đọc đồ thị
- Tỉ lệ và khoảng cách lưới.
- Tập xác định: chỗ đứt, lỗ hổng và tiệm cận đứng, nơi f không xác định.
- Giao điểm với trục tung: có khớp với hằng số không?
- Nghiệm: cắt hay tiếp xúc?
- Điểm cực trị: bao nhiêu điểm, cực đại hay cực tiểu?
- Dáng điệu ở hai đầu: khi x đi rất xa về bên trái và bên phải thì sao (tiệm cận ngang, tăng không giới hạn)?
Những lỗi thường gặp
- Đọc nghiệm bằng mắt trên lưới. Nghiệm của x² − 2 trên lưới thưa trông như "khoảng 1.4"; giá trị đúng là √2 ≈ 1.41421. Hãy dùng chức năng dò điểm hoặc danh sách nghiệm, rồi nêu rõ độ chính xác bạn đưa ra.
- Coi vạch đứng là một phần đường cong. Máy tính bỏ túi và bảng tính hay nối hai nhánh của tan(x) hoặc 1/(x − 3) bằng một vạch đứng. Hàm không có giá trị ở đó.
- Chỉ đếm những nghiệm nhìn thấy. Kết quả chỉ trong khung nhìn. x³ − 3x − 18 có nghiệm x = 3, nhưng khung nhìn từ −2 đến 2 không thấy nghiệm nào. Hãy thu nhỏ trước khi kết luận phương trình vô nghiệm.
- Nhầm độ với radian. sin(x) trên đồ thị hàm số dùng radian, nên nghiệm nằm tại bội của π ≈ 3.14159, không phải 180.
- Quên thứ tự phép tính. −x² là −(x²), một parabol úp ngược, còn 1/2x là (1/2)·x, một đường thẳng. Dấu ngoặc quyết định hình dạng.
- Gọi mọi điểm cao là "giá trị lớn nhất". Cực đại địa phương chỉ là điểm cao nhất ở gần đó. Hãy nói "địa phương" trừ khi bạn đã xét toàn bộ tập xác định.
Khi các thói quen này đã thành phản xạ, đồ thị trở thành cách nhanh để đoán trước đáp án trước khi tính, và để phát hiện lỗi dấu ngay khi đường cong không khớp.