Máy tính ma trận

Công cụ này làm gì

Công cụ làm việc với một hoặc hai ma trận tối đa 6 hàng, 6 cột và tính định thức, ma trận nghịch đảo, hạng, dạng bậc thang rút gọn (RREF), ma trận chuyển vị, A + B, A − B, A × B, bội k·A, và nghiệm của hệ phương trình tuyến tính A·x = b. Mỗi ô nhận số nguyên, số thập phân hoặc phân số như 3/4; ô để trống được tính là 0.

Mọi số được giữ dưới dạng phân số chính xác của hai số nguyên, dù lớn đến đâu. Không có bước làm tròn nào trong lúc tính, nên ma trận suy biến cho định thức đúng bằng 0 chứ không phải 2.2e-16, và nghịch đảo của ma trận Hilbert 3×3 ra đúng các số nguyên 9, −36, 30, … như trong sách. Chọn Hiện số thập phân để đọc cùng kết quả được làm tròn đến số chữ số bạn chọn; việc làm tròn chỉ xảy ra khi hiển thị.

Cách dùng

1. Chọn phép tính. Ma trận B hiện ra với A + B, A − B và A × B; cột b hiện ra với A·x = b; số k hiện ra với k·A.
2. Chọn số hàng, số cột rồi nhập vào các ô. Muốn lấy ma trận từ bảng tính hay đề bài, dùng Dán vào A: mỗi hàng một dòng, các ô cách nhau bằng dấu cách, tab, dấu phẩy hoặc chấm phẩy.
3. Kết quả cập nhật ngay khi bạn gõ. Sao chép đưa kết quả vào bộ nhớ tạm dưới dạng các hàng phân cách bằng tab, dán thẳng vào Excel hay Google Sheets được. Dùng kết quả làm A giúp nối các phép tính, ví dụ nghịch đảo rồi nhân.
4. Mở Xem các bước để thấy từng phép biến đổi sơ cấp trên hàng và ma trận sau mỗi phép.

Kết quả được tính thế nào

Định thức. Ma trận được đưa về dạng tam giác chỉ bằng hai thao tác: đổi chỗ hai hàng (định thức đổi dấu) và cộng vào một hàng một bội của hàng khác (định thức không đổi). Khi đó định thức bằng (−1) mũ số lần đổi hàng nhân với tích các phần tử trên đường chéo. Với ví dụ ban đầu A = [[2, −3, 1], [2, 0, −1], [1, 4, 5]], các bước là R2 ← R2 − R1, R3 ← R3 − (1/2)R1 và R3 ← R3 − (11/6)R2, còn lại đường chéo 2, 3 và 49/6, nên det(A) = 2 × 3 × 49/6 = 49. Khai triển theo hàng thứ nhất bằng phần bù đại số cũng cho kết quả đó: 2·4 + 3·11 + 1·8 = 49. Với ma trận 2×2, công cụ hiện thêm công thức quen thuộc ad − bc.

RREF, hạng và nghịch đảo. Khử Gauss–Jordan: ở mỗi cột, phần tử khác 0 đầu tiên tính từ hàng hiện tại trở xuống được chọn làm phần tử chính, hàng của nó được chia để phần tử chính bằng 1, rồi cột đó được khử ở mọi hàng khác. Hạng là số phần tử chính. Ma trận nghịch đảo được tìm bằng cách rút gọn [A | I]: nếu nửa trái thành ma trận đơn vị thì nửa phải là A⁻¹; nếu một cột không còn phần tử chính thì A suy biến và không có nghịch đảo.

A·x = b. Công cụ rút gọn [A | b]. Một hàng dạng 0 = 5 nghĩa là các phương trình mâu thuẫn, hệ vô nghiệm. Nếu cột nào của A cũng có phần tử chính thì hệ có đúng một nghiệm. Ngược lại, các cột không có phần tử chính là ẩn tự do, ký hiệu t1, t2, …, và nghiệm được viết dạng tham số như x1 = 1 − t1 − t2, x2 = t1, x3 = t2: hệ có vô số nghiệm, mỗi cách chọn t cho một nghiệm.

Mẹo và giới hạn

• Phép biến đổi được viết R2 ← R2 − 3R1 (thay hàng 2 bằng hàng 2 trừ ba lần hàng 1), R1 ↔ R3 (đổi chỗ) và R1 ← (1/2)R1 (nhân một hàng với một số). Sách của bạn có thể chọn phần tử chính theo thứ tự khác nên các ma trận trung gian khác đi; nhưng RREF, hạng, định thức và nghịch đảo là duy nhất, nên kết quả cuối phải trùng nhau.
• Tối đa 60 phép biến đổi được liệt kê kèm ma trận; với hệ lớn, phần còn lại chỉ được đếm chứ không hiện.
• Trong ô, dấu phẩy có thể là dấu thập phân (2,5). Trong ô dán, dấu phẩy dùng để ngăn cách các ô, nên hãy dùng dấu chấm.
• Với một phương trình đơn lẻ, phương trình bậc hai hay bậc ba, công cụ giải phương trình giải thích từng bước bằng lời; muốn xem hình dạng một hàm số, dùng công cụ vẽ đồ thị. Các ví dụ 2×2 và 3×3 trong bài tính định thức và ma trận nghịch đảo bằng tay đi theo đúng các bước của công cụ này.