Vẽ đồ thị hàm số

Vẽ đồ thị y = f(x), phóng to, dò điểm, tìm nghiệm và giao điểm.

Hàm số
Nét của f₁: liền
Nét của f₂: gạch

Dùng x, + − × ÷ ^, dấu ngoặc và sin, cos, tan, sqrt, cbrt, abs, ln, log, exp, floor… Góc tính bằng radian. 2x và 3(x+1) là phép nhân.

Đồ thị

Kéo để di chuyển, cuộn chuột hoặc chụm hai ngón để phóng to. Khi đồ thị đang được chọn: phím mũi tên để di chuyển, + và − để phóng to thu nhỏ, 0 để đặt lại.

Đang xem: x từ -10 đến 10

Dò điểm

Vị trí dò theo trục x

f₁: x = 1, y = -1

Các điểm trong khung nhìn

f₁(x) = x^2 - 2

Nghiệm (y = 0)
x = -1.41421; x = 1.41421
Giao với trục y
(0, -2)
Điểm cực trị
cực tiểu (0, -2)

f₂(x) = x

Nghiệm (y = 0)
x = 0
Giao với trục y
(0, 0)
Điểm cực trị
không có trong khung nhìn

Giao điểm

f₁ và f₂
(-1, -1); (2, 2)

Tìm bằng phương pháp số trong khoảng x đang xem, làm tròn 6 chữ số có nghĩa.

Công cụ này làm gì

Nhập một biểu thức theo x và công cụ vẽ ngay đồ thị y = f(x). Bạn có thể vẽ cùng lúc tối đa năm hàm số, mỗi hàm có màu riêng và kiểu nét riêng (liền, gạch, chấm, gạch chấm, gạch dài), nên vẫn phân biệt được khi in đen trắng hay với người khó nhìn màu. Bên cạnh đồ thị là danh sách, trong phần trục x đang xem:

  • nghiệm của từng hàm (nơi đồ thị cắt hoặc tiếp xúc trục hoành),
  • giao điểm với trục tung f(0),
  • điểm cực trị (cực đại, cực tiểu),
  • giao điểm của từng cặp hàm số.

Ví dụ mặc định vẽ x^2 - 2 và x. Danh sách cho nghiệm x = −1.41421 và 1.41421 (tức ±√2), giao với trục tung và cực tiểu tại (0, −2), cùng hai giao điểm (−1, −1) và (2, 2), chính là nghiệm của x² − 2 = x.

Biểu thức được đọc bằng bộ phân tích riêng của công cụ và chuyển thành một cây phép tính nhỏ; văn bản bạn gõ không bao giờ được chạy như mã chương trình.

Cách dùng

  1. Gõ vào ô f₁(x) =. Dùng + - * / ^, dấu ngoặc và các hàm sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, sqrt, cbrt, abs, ln, log (cơ số 10), exp, floor, ceil, round, sign, cùng hằng số pi (hoặc π) và e.
  2. Bấm Thêm hàm số để có tối đa năm đường. Phần y = hay f(x) = ở đầu được bỏ qua, nên có thể dán thẳng từ đề bài.
  3. Di chuyển và phóng to. Kéo đồ thị để di chuyển; cuộn chuột hoặc chụm hai ngón để phóng to quanh điểm đó. Khi đồ thị đang được chọn, phím mũi tên để di chuyển (giữ Shift để bước lớn hơn), + và − để phóng to thu nhỏ, 0 để đặt lại. Các nút phía trên đồ thị làm việc tương tự.
  4. Dò điểm. Chọn hàm ở mục Dò theo hàm rồi kéo thanh trượt, rê chuột hoặc chạm vào đồ thị: tọa độ chính xác hiện ngay bên dưới.
  5. Lưu PNG tải về khung nhìn hiện tại trên nền trắng kèm chú thích, dùng được cho bài tập hay slide.

Biểu thức được hiểu thế nào

Quy tắc giống hệt máy tính khoa học, nên một biểu thức có cùng nghĩa ở cả hai trang:

  • Lũy thừa làm trước phép nhân và nhóm từ phải sang: 2^3^2 là 2⁹ = 512.
  • Dấu trừ đứng đầu áp dụng sau lũy thừa: -x^2 là −(x²), một parabol úp xuống. Viết (-x)^2 nếu muốn trường hợp kia.
  • Phép nhân ngầm là phép nhân thường: 2x, 3(x+1), x sin(x) và 2pi đều là nhân, tính từ trái sang cùng × và ÷. Vì vậy 1/2x là (1/2)·x, một đường thẳng; muốn hyperbol hãy viết 1/(2x).
  • Hàm cần dấu ngoặc (sin(x), không phải sin x) và góc tính bằng radian: sin(x) bằng 0 tại 0, ±π ≈ ±3.14159, ±2π ≈ ±6.28319.
  • x^(1/3) không xác định khi x âm, như mọi ngôn ngữ lập trình theo chuẩn IEEE 754; dùng cbrt(x) để lấy căn bậc ba thực.

Chỗ hàm không xác định, như sqrt(x) với x < 0 hay ln(x) tại 0, đồ thị chỉ đơn giản bị đứt.

Tiệm cận, bước nhảy và cách tìm các điểm

Đường cong được lấy mẫu mỗi cột điểm ảnh một lần. Giữa hai mẫu liền nhau, công cụ kiểm tra hàm thật sự tăng rất dốc hay nhảy bậc: nó chia đôi khoảng nhiều lần, độ chênh của đường liên tục sẽ nhỏ dần còn của bước nhảy thì không. Nhờ vậy tan(x) được vẽ thành các nhánh riêng, không có vạch đứng giả tại x = ±π/2, và floor(x) trông như bậc thang.

Nghiệm được tìm ở chỗ dấu thay đổi giữa hai mẫu, rồi chia đôi khoảng tới khoảng mười hai chữ số có nghĩa. Một lần đổi dấu qua tiệm cận (tan tại π/2) hay qua bước nhảy bị loại vì hàm không tiến gần 0 ở đó. Nghiệm mà đồ thị chỉ tiếp xúc trục hoành, như x = 1 của (x-1)^2, không có đổi dấu; nó được tìm như điểm mà |f| đạt cực tiểu bằng 0. Điểm cực trị được tinh chỉnh bằng cách tìm chỗ hệ số góc đổi dấu, nên cực tiểu của x² − 2 được báo đúng tại (0, −2) và hai cực trị của x^3 - 3x tại (−1, 2) và (1, −2).

Kết quả là tính bằng phương pháp số và chỉ trong vùng bạn đang thấy: hãy thu nhỏ để tìm thêm nghiệm, và lưu ý hai nghiệm gần nhau hơn một bước cỡ điểm ảnh có thể bị gộp làm một. Kết quả làm tròn sáu chữ số có nghĩa. Để giải chính xác cùng phương trình kèm từng bước, dùng công cụ giải phương trình; để học cách đọc nghiệm, giao điểm và tiệm cận, xem cách đọc đồ thị hàm số.

Câu hỏi thường gặp

Vì sao -x^2 lại là parabol úp xuống?

Vì lũy thừa được tính trước dấu trừ, đúng như trong đại số và trong máy tính khoa học: -x^2 nghĩa là −(x²). Tại x = 3 giá trị là −9. Nếu muốn (−x)², tức là x², hãy viết dấu ngoặc.

Góc tính bằng độ hay radian?

Radian, quy ước chuẩn khi vẽ đồ thị hàm số. sin(x) có nghiệm tại 0, ±π và ±2π (khoảng ±3.14159 và ±6.28319). Muốn vẽ theo độ, hãy đổi bên trong hàm: sin(x*pi/180).

Nghiệm và giao điểm chính xác đến đâu?

Mỗi nghiệm được chia đôi khoảng tới khoảng mười hai chữ số có nghĩa và hiển thị sáu chữ số. Với x² − 2, công cụ ghi 1.41421, giá trị phía sau là 1.414213562373095. Chỉ khoảng x đang xem được tìm, và hai nghiệm quá gần nhau có thể bị gộp, nên hãy phóng to vùng dày đặc.

Sao không có vạch đứng tại tiệm cận của tan(x) hay 1/x?

Giữa hai điểm liền nhau, công cụ kiểm tra hàm nhảy bậc hay chỉ tăng dốc. Qua tiệm cận hàm nhảy, nên đường bị ngắt thay vì nối +∞ với −∞ bằng một vạch đứng giả. Lần đổi dấu tại tiệm cận cũng không bị tính là nghiệm.

Vì sao x^(1/3) không hiện gì khi x âm?

Lũy thừa số âm với số mũ không nguyên không xác định trong số học dấu phẩy động thực, nên kết quả là NaN và đồ thị bị đứt. Hãy dùng cbrt(x) để lấy căn bậc ba thực, ví dụ cbrt(-8) = −2.

Đọc thêm

Cập nhật 14 tháng 10, 2026 · Thêm trong nhóm Học tập