Giải phương trình bậc 2, bậc 3 và hệ phương trình có lời giải

Lời giải từng bước

Biệt thức: Δ = b² − 4ac = 2² − 4·1·(−2) = 12.

Δ > 0: phương trình có hai nghiệm thực phân biệt.

Rút gọn căn: √12 = 2√3.

Công thức nghiệm: x = (−b ± √Δ) / (2a) = (−2 ± 2√3) / 2.

Đỉnh parabol: (−b/(2a), c − b²/(4a)) = (−1, −3).

Kiểm tra (định lý Vi-ét): tổng hai nghiệm là −b/a = −2, tích là c/a = −2.

Công cụ này làm gì

Công cụ giải bốn loại phương trình và trình bày cách giải: phương trình bậc nhất ax + b = 0, bậc hai ax² + bx + c = 0, bậc ba ax³ + bx² + cx + d = 0, và hệ hai hoặc ba phương trình bậc nhất ẩn x, y, z. Bạn nhập hệ số; nghiệm và lời giải cập nhật ngay khi gõ.

Hệ số được đọc như phân số chính xác, không phải số thực dấu phẩy động. Gõ 0.1 thì công cụ làm việc với 1/10; gõ 2/3 thì là hai phần ba. Nhờ vậy đáp số được viết như trong sách giáo khoa: x = −1 ± √3 thay vì 0,7320508076 và −2,732050808 (giá trị thập phân vẫn được hiện kèm), x = −1/2 thay vì −0,5000000001, và nghiệm của hệ là x = 5/7 thay vì một số đã làm tròn.

Cách dùng

Chọn thẻ: Bậc nhất, Bậc hai, Bậc ba hoặc Hệ phương trình.
Nhập hệ số. Hạng tử nào vắng thì hệ số bằng 0, nên với 2x² − 3 = 0 hãy nhập a = 2, để trống b, c = −3. Số thập phân dùng dấu chấm, phân số dùng dấu gạch chéo.
Đọc nghiệm trong ô kết quả, rồi xem danh sách lời giải từng bước bên dưới. Nút Sao chép chép nghiệm dưới dạng văn bản.
Với hệ phương trình, chọn 2 hoặc 3 phương trình và điền mỗi hàng một phương trình: hệ số của x, y (và z), rồi vế phải.

Mỗi loại được giải thế nào

Bậc hai. Biệt thức Δ = b² − 4ac quyết định tất cả. Với x² + 2x − 2 = 0, Δ = 4 + 8 = 12. Vì 12 = 4 × 3 nên √12 = 2√3, và công thức x = (−b ± √Δ)/(2a) cho (−2 ± 2√3)/2 = −1 ± √3. Khi Δ là số chính phương, nghiệm là phân số và công cụ viết thêm dạng phân tích thành nhân tử: x² − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2). Khi Δ = 0 có nghiệm kép (4x² + 4x + 1 = 0 cho x = −1/2). Khi Δ âm, nghiệm là số phức: x² + 2x + 5 = 0 có Δ = −16 và nghiệm −1 ± 2i. Bạn còn có đỉnh parabol và phép thử theo định lý Vi-ét: tổng hai nghiệm bằng −b/a, tích bằng c/a. Bài viết biệt thức Δ cho biết điều gì có thêm nhiều ví dụ.

Bậc ba. Trước hết thử nghiệm hữu tỉ: với hệ số nguyên, mọi nghiệm hữu tỉ phải có dạng ±p/q, p là ước của hệ số tự do và q là ước của hệ số cao nhất. Với x³ − 6x² + 11x − 6, các ứng viên là ±1, ±2, ±3, ±6; x = 1 là nghiệm, chia đi còn x² − 5x + 6, nên ba nghiệm là 1, 2 và 3. Khi không ứng viên nào đúng, nghiệm là số vô tỉ và được tính bằng phương pháp số: phương pháp lượng giác khi biệt thức bậc ba dương (ba nghiệm thực), công thức Cardano khi nó âm (một nghiệm thực và một cặp nghiệm phức). x³ − 2 = 0 cho ∛2 ≈ 1,25992105 và −0,6299605249 ± 1,091123636i. Mọi nghiệm số đều được thay ngược lại vào phương trình và sai số lớn nhất được hiện ra, để bạn thấy nghiệm thật sự đúng.

Hệ phương trình. Hệ được viết thành ma trận mở rộng và công cụ khử Gauss–Jordan bằng phân số chính xác, liệt kê từng phép biến đổi hàng cùng ma trận sau đó. Kết quả là nghiệm duy nhất, vô nghiệm (có hàng dạng 0 = 1) hoặc vô số nghiệm viết theo tham số: x + 2y = 4 và 2x + 4y = 8 cho x = 4 − 2t, y = t.

Giới hạn nên biết

Nghiệm được viết chính xác khi đại số cho phép: phân số, căn bậc hai và căn bậc ba của một số. Phương trình như x³ − 3x + 1 = 0 có ba nghiệm thực nhưng không viết được chỉ bằng căn thực (trường hợp "casus irreducibilis"), nên được hiện dưới dạng thập phân với mười chữ số có nghĩa. Căn bậc hai được rút gọn bằng cách đưa thừa số chính phương nhỏ hơn 100 000 ra ngoài, đủ cho mọi số gõ tay. Phương trình bậc bốn trở lên không được giải ở đây; muốn xem một hàm cắt trục hoành ở đâu, hãy vẽ nó bằng công cụ vẽ đồ thị hàm số. Với hệ lớn hơn, định thức và ma trận nghịch đảo, hãy dùng máy tính ma trận; với phép tính thông thường, dùng máy tính khoa học.

Câu hỏi thường gặp

Biệt thức Δ cho biết điều gì?

Với ax² + bx + c = 0, Δ = b² − 4ac. Dương: hai nghiệm thực phân biệt. Bằng 0: nghiệm kép, parabol vừa chạm trục hoành. Âm: không có nghiệm thực, nhưng có hai nghiệm phức liên hợp. Nếu Δ là số chính phương và hệ số là số nguyên thì nghiệm là phân số và tam thức phân tích được gọn gàng.

Vì sao công cụ ghi −1 ± √3 thay vì số thập phân?

Vì đó là đáp số chính xác. Công cụ tính bằng phân số nên giữ nguyên √3 thay vì làm tròn. Giá trị thập phân (0,7320508076 và −2,732050808) được hiện kèm khi bạn cần một con số.

Có nhập hệ số là phân số hoặc số thập phân được không?

Được. 3/4, −2.5 và 1e-3 đều được đổi thành phân số chính xác. Dấu phẩy trong một số cũng được hiểu là dấu thập phân, nên 2,5 nghĩa là 2,5. Ô trống được tính là 0.

Nếu hệ số cao nhất bằng 0 thì sao?

Phương trình hạ bậc và công cụ ghi rõ điều đó: phương trình bậc hai có a = 0 được giải như phương trình bậc nhất bx + c = 0, phương trình bậc ba có a = 0 được giải như bậc hai. Phương trình bậc nhất có a = 0 thì hoặc vô nghiệm (b ≠ 0), hoặc mọi x đều là nghiệm (b = 0).

Hệ phương trình vô nghiệm hay vô số nghiệm có được báo không?

Có. Phép khử hoặc tìm được phần tử trụ cho mọi ẩn (nghiệm duy nhất), hoặc tạo ra hàng 0 = c với c khác 0 (vô nghiệm), hoặc để lại ẩn không có phần tử trụ. Các ẩn đó trở thành tham số t, s và các ẩn còn lại được viết theo chúng.