Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có một công thức ngắn và cả một danh sách cách làm sai. Con số hữu ích nhất trong cả quá trình lại là con số nhiều người tính lướt qua rồi bỏ quên: biệt thức Δ = b² − 4ac. Nó cho biết có bao nhiêu nghiệm thực, nghiệm sẽ là phân số gọn gàng hay chứa căn, và trong bài toán có lời văn thì tình huống đề bài có xảy ra được hay không. Bài này đi qua công thức, hai ví dụ thực tế, rồi những lỗi hay mất điểm. Mọi con số dưới đây được tính bằng công cụ giải phương trình và kiểm tra lại bằng tay.
Công thức, và vị trí của biệt thức trong đó
Công thức nghiệm là
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
Phần dưới dấu căn chính là biệt thức. Vì căn bậc hai của số âm không phải số thực, còn căn của 0 bằng 0, nên Δ chia mọi phương trình bậc hai thành ba trường hợp:
| Δ | Nghiệm thực | Parabol y = ax² + bx + c |
|---|---|---|
| dương | hai nghiệm phân biệt | cắt trục hoành tại hai điểm |
| bằng 0 | nghiệm kép | tiếp xúc trục hoành tại đỉnh |
| âm | không có (hai nghiệm phức) | nằm hẳn phía trên hoặc phía dưới trục |
Cách nhanh để thấy cả ba là giữ nguyên a, b và thay đổi c. Xét x² − 4x + c:
- c = 3: Δ = 16 − 12 = 4. Hai nghiệm x = (4 ± 2)/2, tức x = 3 và x = 1. Phân tích được (x − 3)(x − 1) = 0.
- c = 4: Δ = 16 − 16 = 0. Nghiệm kép x = 4/2 = 2. Phân tích được (x − 2)² = 0.
- c = 5: Δ = 16 − 20 = −4. Không có nghiệm thực; nghiệm phức là x = (4 ± 2i)/2 = 2 ± i.
Tăng c là nâng parabol lên. Khi c = 4, điểm thấp nhất nằm đúng trên trục hoành; cao hơn nữa thì parabol không chạm trục nữa.
Cách đọc thứ hai: số chính phương và căn thức
Khi a, b, c là số nguyên, Δ còn cho biết loại đáp số. Nếu Δ là số chính phương (0, 1, 4, 9, 16, …) thì nghiệm là phân số và tam thức phân tích được thành nhân tử với hệ số nguyên. Nếu Δ dương nhưng không chính phương, nghiệm chứa một căn bậc hai không khử được.
Với x² + 2x − 2 = 0, Δ = 4 + 8 = 12. Mười hai không phải số chính phương nhưng có thừa số chính phương: 12 = 4 × 3, nên √12 = 2√3. Khi đó
x = (−2 ± 2√3) / 2 = −1 ± √3
xấp xỉ 0,7320508076 và −2,732050808. Rút gọn căn trước khi chia là bước khiến các số 2 triệt tiêu; để nguyên √12 thì đáp số vẫn đúng nhưng chưa gọn, và nhiều thầy cô sẽ trừ điểm.
Ví dụ 1: quả bóng ném thẳng lên
Một quả bóng được ném thẳng lên với vận tốc 20 m/s từ tay cao 1,5 m so với mặt đất. Bỏ qua sức cản không khí, lấy g = 9,8 m/s², độ cao sau t giây là
h(t) = −4,9t² + 20t + 1,5
Khi nào bóng chạm đất? Cho h = 0: a = −4,9, b = 20, c = 1,5. Δ = 20² − 4 × (−4,9) × 1,5 = 400 + 29,4 = 429,4. Dương, nên có hai nghiệm thực: t = (−20 ± √429,4) / (−9,8), cho t ≈ 4,155 s và t ≈ −0,074 s. Nghiệm âm đúng về đại số nhưng vô nghĩa về vật lý: đó là thời điểm quả bóng lẽ ra rời mặt đất nếu được ném từ dưới thấp hơn. Đáp số là khoảng 4,16 giây.
Khi nào bóng ở độ cao 15 m? Cho h = 15 và chuyển 15 sang vế trái: −4,9t² + 20t − 13,5 = 0. Δ = 400 − 4 × 4,9 × 13,5 = 400 − 264,6 = 135,4. Hai nghiệm: t ≈ 0,853 s khi đi lên và t ≈ 3,228 s khi rơi xuống.
Bóng có lên tới 25 m không? −4,9t² + 20t − 23,5 = 0 cho Δ = 400 − 460,6 = −60,6. Âm: không có thời điểm thực nào, quả bóng không bao giờ lên cao như vậy. Bạn không cần tính hết công thức mới biết.
Đỉnh parabol xác nhận điều này: điểm cao nhất ở t = −b/(2a) = 20/9,8 ≈ 2,041 s, độ cao 1,5 + 20²/(4 × 4,9) ≈ 21,91 m. Với một độ cao mục tiêu H, biệt thức bằng 0 đúng khi H là độ cao đỉnh đó.
Ví dụ 2: mảnh vườn rào bằng 20 m lưới
Bạn có 20 m lưới để rào một luống hình chữ nhật. Nếu một cạnh dài x mét thì cạnh kia là 10 − x, diện tích là x(10 − x).
- Diện tích 21 m²: x(10 − x) = 21 thành x² − 10x + 21 = 0. Δ = 100 − 84 = 16 là số chính phương, nên nghiệm nguyên: x = (10 ± 4)/2 = 7 hoặc 3. Luống rộng 7 m × 3 m (hai nghiệm cùng mô tả một hình chữ nhật, chỉ xoay ngang dọc).
- Diện tích 25 m²: x² − 10x + 25 = 0, Δ = 0, nên x = 5: hình vuông cạnh 5 m, diện tích lớn nhất mà 20 m lưới rào được.
- Diện tích 30 m²: x² − 10x + 30 = 0, Δ = −20. Không thể làm được với 20 m lưới; hai nghiệm phức 5 ± i√5 là cách đại số nói "không".
Những lỗi thường gặp
- Mất dấu của b. Công thức bắt đầu bằng −b. Nếu b = −10 thì −b = +10. Viết "−10" ở đây là lỗi phổ biến nhất. Đặt ngoặc quanh mọi giá trị thay vào, (−10)² − 4(1)(21), sẽ tránh được lỗi này, và cũng tránh đọc −10² thành −100.
- Chỉ chia một phần tử số cho 2a. Trong (−2 ± 2√3)/2, cả hai hạng tử đều được chia: −1 ± √3, không phải −2 ± √3.
- Quên dấu ±. Phương trình có Δ > 0 có hai nghiệm. Chỉ lấy dấu + là mất nửa đáp số; trong ví dụ mảnh vườn, đó là mất cạnh 3 m.
- Chia cho 2 thay vì 2a. Khi a ≠ 1, mẫu số là 2a. Với quả bóng, 2a = −9,8, và dấu âm rất quan trọng.
- Dùng công thức khi a = 0. Khi đó không có hạng tử x², phương trình là bậc nhất: bx + c = 0, nên x = −c/b. Công thức nghiệm sẽ chia cho 0.
- Loại nghiệm không có lý do, hoặc giữ nghiệm vô lý. Thời gian hay độ dài âm bị loại vì ngữ cảnh, không phải vì đại số sai. Hãy ghi rõ lý do.
- Không thử lại. Hai nghiệm của ax² + bx + c có tổng −b/a và tích c/a (định lý Vi-ét). Với x² − 10x + 21: 7 + 3 = 10 và 7 × 3 = 21. Mất năm giây và bắt được phần lớn lỗi tính toán.
Dùng công cụ để kiểm tra bài làm
Nhập a, b, c vào thẻ Bậc hai của công cụ giải phương trình. Công cụ hiện Δ với các giá trị đã thay vào, rút gọn căn, cho nghiệm chính xác (phân số, căn thức hoặc số phức) kèm giá trị thập phân, và thêm đỉnh parabol, dạng phân tích nhân tử khi có, cùng phép thử tổng và tích. Hệ số thập phân như −4,9 được đọc chính xác là −49/10 (khi nhập, dùng dấu chấm: −4.9), vì vậy nghiệm của bài quả bóng hiện là 100/49 ± √10735/49 trước phần thập phân. Muốn xem chính parabol, hãy vẽ nó bằng công cụ vẽ đồ thị hàm số.