Xúc xắc trông đơn giản cho đến khi bạn phải dựa vào nó để quyết định: một luật chơi board game có công bằng không, nên đặt độ khó bao nhiêu, hay gieo có lợi thế có đáng để đánh đổi thứ khác không. Tin vui là xác suất xúc xắc không cần học thống kê. Mọi câu hỏi dưới đây đều được trả lời theo cùng một cách: đếm các kết quả đồng khả năng, rồi đếm những kết quả bạn muốn. Mọi con số trong bài đến từ phép đếm chính xác của công cụ gieo xúc xắc và tung đồng xu, bạn có thể dùng nó để kiểm tra lại bất kỳ số nào.
Một viên thì đều, hai viên thì không
Một viên xúc xắc sáu mặt công bằng cho mỗi mặt xác suất 1/6. Chưa có gì thú vị cho đến khi thêm viên thứ hai. Hai viên có 6 × 6 = 36 kết quả có thứ tự (viên thứ nhất và viên thứ hai là hai vật khác nhau, dù trông giống hệt), và các tổng không xuất hiện đều nhau:
| Tổng | Số cách | Xác suất |
|---|---|---|
| 2 | 1 | 2,78% |
| 3 | 2 | 5,56% |
| 4 | 3 | 8,33% |
| 5 | 4 | 11,11% |
| 6 | 5 | 13,89% |
| 7 | 6 | 16,67% |
| 8 | 5 | 13,89% |
| 9 | 4 | 11,11% |
| 10 | 3 | 8,33% |
| 11 | 2 | 5,56% |
| 12 | 1 | 2,78% |
Tổng 7 cao nhất vì đó là tổng duy nhất mà viên thứ nhất ra mặt nào cũng vẫn còn đạt được: dù viên đầu ra gì, luôn có đúng một mặt của viên thứ hai làm tổng thành 7 (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1). Với 12, chỉ khi viên đầu ra 6 mới còn cơ hội. Đó chính là lý do board game dùng hai viên xúc xắc coi 6 và 8 là số tốt còn 2 và 12 là hiếm: 7 dễ ra gấp sáu lần 12.
Ba viên tạo thành hình chuông
Thêm viên thứ ba, hình tam giác bo tròn thành hình chuông. 3d6 có 6³ = 216 kết quả, số cách lần lượt là 1, 3, 6, 10, 15, 21, 25, 27, 27, 25, 21, 15, 10, 6, 3, 1 cho các tổng từ 3 đến 18. Cả 10 và 11 đều xuất hiện 27 lần trong 216, đúng 12,5% mỗi tổng, còn 3 và 18 chỉ 1 trên 216, chưa tới nửa phần trăm.
Vì vậy người thiết kế game muốn kết quả ổn định thường dùng nhiều xúc xắc nhỏ thay cho một viên lớn. Một viên d20 và 3d6 đều có trung bình 10,5, nhưng d20 ra 16 trở lên 25% số lần (5 mặt trên 20) còn 3d6 chỉ 4,63% (10 kết quả trên 216). Một viên thì thất thường; tổng của nhiều viên dồn về giữa.
Bốn viên, bỏ viên thấp nhất
Nhiều game nhập vai gieo chỉ số nhân vật bằng 4d6 và giữ ba viên cao nhất (viết là 4d6kh3 hoặc 4d6dl1). Lúc này cộng đơn thuần không đủ, vì viên nào được tính phụ thuộc vào cả bốn viên. Nhưng đếm vẫn được: có 6⁴ = 1296 kết quả, mỗi kết quả bỏ đi viên nhỏ nhất. Công cụ làm việc này bằng một phương pháp đếm thay vì liệt kê đủ 1296 trường hợp, và kết quả khớp với cách liệt kê vét cạn:
- Trung bình đúng bằng 15869/1296, khoảng 12,24, so với 10,5 của 3d6.
- Chỉ số dễ ra nhất là 13 (172 kết quả, 13,27%).
- Muốn ra 18 cần ít nhất ba mặt sáu: bốn cách đặt đúng ba mặt sáu, nhân năm giá trị của viên còn lại, cộng một lần cả bốn viên đều sáu, tức 4 × 5 + 1 = 21 kết quả, 1,62%.
- Chỉ số từ 15 trở lên xuất hiện 23,15% số lần, so với 9,26% khi gieo thẳng 3d6.
Bỏ một viên đẩy cả đường cong lên gần hai điểm, và nó cắt phần đáy mạnh hơn nhiều so với nâng phần đỉnh: xác suất ra 8 trở xuống giảm từ 25,93% với 3d6 xuống 10,49%.
Tính lợi thế cho chính xác
Có lợi thế, bạn gieo hai viên d20 và giữ viên cao hơn. Mẹo là đếm thất bại thay vì thành công. Để trượt mục tiêu t, cả hai viên phải nhỏ hơn t, và mỗi viên có xác suất (t − 1)/20 nhỏ hơn t. Vậy:
- xác suất khi có lợi thế = 1 − ((t − 1)/20)²
- xác suất khi bất lợi = ((21 − t)/20)², vì cả hai viên đều phải đạt t
Với mục tiêu 11, ta được 1 − (10/20)² = 3/4 = 75% khi có lợi thế và (10/20)² = 25% khi bất lợi, so với 50% khi gieo một viên. Cùng phép tính trên cả dải mục tiêu:
| Cần ít nhất | Một d20 | Lợi thế | Bất lợi |
|---|---|---|---|
| 5 | 80% | 96% | 64% |
| 8 | 65% | 87,75% | 42,25% |
| 11 | 50% | 75% | 25% |
| 15 | 30% | 51% | 9% |
| 18 | 15% | 27,75% | 2,25% |
| 20 | 5% | 9,75% | 0,25% |
Trung bình khi có lợi thế là 13,825. Cách nhanh nhất để thấy: giá trị kỳ vọng của một viên xúc xắc bằng tổng, trên mọi mặt k, của xác suất kết quả ít nhất là k. Với viên lớn hơn trong hai viên d20, đó là tổng của 1 − ((k − 1)/20)² với k từ 1 đến 20, bằng 20 − 2470/400 = 13,825 (2470 là 0² + 1² + … + 19²). Theo tính đối xứng, bất lợi có trung bình 21 − 13,825 = 7,175.
Xúc xắc phần trăm
Một viên d100 thường là hai viên mười mặt: một viên ghi 00, 10, 20 … 90 cho hàng chục và một viên ghi 0 đến 9 cho hàng đơn vị. Cộng lại: 40 và 5 là 45, 00 và 7 là 7. Quy tắc hay bị quên là 00 cùng 0 nghĩa là 100, không phải 0. Với quy tắc đó, mỗi kết quả từ 1 đến 100 có đúng một tổ hợp trên 100, nên mỗi giá trị đúng 1%.
Những lỗi hay gặp
- Coi 2d6 là phân bố đều từ 2 đến 12. Không phải: 7 dễ ra gấp sáu lần 2. Một luật kích hoạt khi "ra 2 hoặc 12" xảy ra 1 lần trong 18, không phải 2 lần trong 11.
- Đếm 3+4 và 4+3 là một kết quả. Hai viên là hai vật khác nhau. Đếm cặp không thứ tự cho 21 "kết quả" không đồng khả năng, và mọi xác suất dựa trên đó đều sai.
- Gọi lợi thế là "+5". Nó chỉ đáng 25 điểm phần trăm quanh mục tiêu 10 hoặc 11. Ở mục tiêu 20 nó chỉ thêm 4,75 điểm, kém cả +1. Tính trung bình nó đáng khoảng 3,3.
- Nghĩ rằng xúc xắc có trí nhớ. Sau ba lần ra 1 liên tiếp, lần gieo tiếp theo mỗi mặt vẫn là 1/6. Chuỗi liên tiếp là chuyện bình thường của dãy ngẫu nhiên: tung 10 đồng xu, kết quả lệch 7 và 3 hoặc hơn xảy ra khoảng một phần ba số lần.
- Đọc 00 + 0 là 0 với xúc xắc phần trăm, biến viên 1 đến 100 thành 0 đến 99 và làm hỏng mọi bảng tra dành cho d100.
- Cộng trung bình của các viên được giữ. Trung bình của 4d6 giữ 3 không phải ba phần tư của 14 (trung bình 4d6). Nó là 12,24, và chỉ đếm cẩn thận mới ra con số này.
Tự kiểm tra
Nhập bất kỳ biểu thức nào vào công cụ gieo xúc xắc và tung đồng xu: 2d6, 3d6, 4d6kh3, d20 adv. Bảng dưới kết quả liệt kê mọi tổng kèm số cách và xác suất chính xác, còn ô mục tiêu cho bạn xác suất "ít nhất", "đúng bằng" và "nhiều nhất" của con số bạn cần. Việc gieo dùng nguồn ngẫu nhiên mật mã của trình duyệt cùng phép lấy mẫu loại bỏ, nên xúc xắc bạn gieo ở đó công bằng đúng như toán học nói.