Phần lớn hình học ở trường không bao giờ quay lại, nhưng vài công thức xuất hiện mỗi lần bạn sơn phòng, đặt bê tông, so sánh pizza hay cắt kèo mái. Bài này đi qua những việc đó với số liệu thật từ máy tính hình học, chỉ ra các lỗi đơn vị biến công thức đúng thành đơn hàng sai, và giải thích trường hợp tam giác hay làm người ta vấp: hai cạnh và một góc không xen giữa.
Diện tích: sơn, lát sàn và pizza
Bức tường. Tường rộng 4 m, cao 2,7 m có diện tích 10,8 m². Trừ cửa sổ 1,2 × 1,0 m còn 9,6 m² cần sơn. Hộp sơn ghi độ phủ mỗi lít cho một lớp, nên hai lớp thì gấp đôi. Công thức hình chữ nhật thì dễ; cái hay sai là quên lớp thứ hai hoặc quên trừ cửa.
Pizza. Một chiếc 14 inch có nhiều hơn hai chiếc 10 inch không? Kích thước pizza là đường kính, bán kính bằng một nửa. Một chiếc 14 inch: π × 7² = 153,9 in². Hai chiếc 10 inch: 2 × π × 5² = 157,1 in². Gần như bằng nhau, dù "14" nghe nhỏ hơn "20". Diện tích tăng theo bình phương kích thước: pizza rộng hơn 41% có diện tích gấp đôi.
Thảm tròn, bàn tròn, bồn hoa: cùng công thức πr² với bán kính, không phải đường kính. Lỡ dùng đường kính sẽ ra diện tích gấp bốn.
Thể tích: bê tông, sỏi và quả bóng
Hố chôn cột. Hố tròn rộng 30 cm, sâu 80 cm là một hình trụ: π × 0,15² × 0,8 = 0,0565 m³, tức 56,5 lít bê tông. Mười cột cần khoảng 0,57 m³, đúng đơn vị bê tông tươi được bán. Nhập kích thước bằng cm và chọn kết quả bằng m: công cụ đổi thể tích theo lập phương của hệ số, nên 56.549 cm³ thành 0,0565 m³.
Đống sỏi. Sỏi đổ xuống đất thành hình nón. Đống rộng 3 m, cao 1,2 m chứa π × 1,5² × 1,2 / 3 = 2,83 m³: một phần ba hình trụ cùng đáy, không phải một nửa.
Quả bóng. Quả bóng đá bán kính 11 cm có thể tích 4/3 × π × 11³ = 5.575 cm³, khoảng 5,6 lít không khí.
Đơn vị: những lỗi đắt tiền
Độ dài đổi theo một hệ số, diện tích theo bình phương, thể tích theo lập phương:
| Độ dài | Diện tích | Thể tích | |
|---|---|---|---|
| m sang cm | × 100 | × 10.000 | × 1.000.000 |
| ft sang in | × 12 | × 144 | × 1.728 |
| in sang mm | × 25,4 | × 645,16 | × 16.387,064 |
Đổi diện tích từ m² sang cm² bằng cách nhân 100 là sai 100 lần. Vì vậy công cụ tách riêng đơn vị nhập và đơn vị kết quả, và công cụ đổi đơn vị lo phần lít, gallon và các đơn vị khác. Một lít đúng bằng 1.000 cm³, tức 0,001 m³.
Mái nhà: giải tam giác c.g.c
Mái hai dốc có hai kèo dài 4,2 m gặp nhau ở nóc với góc 120°. Nhà rộng bao nhiêu? Đó là hai cạnh và góc xen giữa (c.g.c): theo định lý cosin, c² = a² + b² − 2ab·cos C = 4,2² + 4,2² − 2 × 4,2 × 4,2 × cos 120°, nên c = 7,27 m. Công cụ cũng cho hai góc còn lại (mỗi góc 30°, chính là độ dốc mái), chiều cao nóc so với đỉnh tường (đường cao tới cạnh c, 2,1 m) và diện tích đầu hồi để ốp.
Bẫy c.c.g: một bộ số đo, hai tam giác
Giờ là một bài kiểu đo đạc. Bạn biết cạnh b = 10 m, cạnh a = 7 m và góc A = 35° đối diện cạnh a. Cạnh thứ ba dài bao nhiêu? Định lý sin cho
sin B = b · sin A / a = 10 × sin 35° / 7 = 0,819.
Có hai góc trong khoảng 0° tới 180° có sin như vậy: B = 55,0° và B = 125,0°. Cả hai đều để lại góc thứ ba dương (90,0° và 20,0°), nên hai tam giác khác nhau cùng khớp với các số đo, với cạnh thứ ba c = 12,20 m hoặc c = 4,18 m. Hãy hình dung cạnh a quay quanh đầu mút của b: nó đủ dài để chạm đường đáy hai lần.
Đó là lý do c.c.g không phải trường hợp bằng nhau của tam giác. Công cụ nhận ra trường hợp này, hiện cả hai tam giác cạnh nhau và vẽ chúng. Các khả năng khác:
- Nếu b · sin A / a lớn hơn 1, cạnh a quá ngắn: không có tam giác.
- Nếu bằng 1, cạnh a vừa chạm: một tam giác vuông.
- Nếu a ≥ b, hoặc A là góc tù, chỉ có tối đa một tam giác.
Trong thực tế, tam giác thứ hai được loại bằng một dữ kiện khác: hình dạng sơ bộ ngoài hiện trường, một số đo thứ ba, hoặc biết chắc một góc phải nhọn.
Những lỗi thường gặp
- Dùng đường kính thay bán kính trong πr²: diện tích gấp bốn, thể tích cầu gấp tám.
- Đổi đơn vị diện tích theo hệ số độ dài: 1 m² là 10.000 cm², không phải 100.
- Coi hình nón là nửa hình trụ: nó chỉ là một phần ba.
- Dùng độ trong công thức radian: diện tích quạt θr²/2 cần θ bằng radian (60° = π/3).
- Cho rằng c.c.g chỉ có một đáp án: hãy kiểm tra tam giác thứ hai.
- Quá nhiều chữ số: hố đo chính xác tới centimét thì thể tích không thể biết tới mililít. Hãy để độ chính xác 3 chữ số có nghĩa với số đo thực tế.
Hãy nhớ công thức cho những việc bạn hay làm, còn phần tính toán và đổi đơn vị để máy làm: đó mới là chỗ sai sót thật sự xảy ra.