"Trung bình là 18,7" nghe như một sự thật, nhưng sự thật đó có ích hay không còn tùy dữ liệu phía sau. Bài này đưa một bộ dữ liệu nhỏ, sát thực tế qua máy tính thống kê, cho thấy một hai giá trị cực đoan làm gì với từng con số tóm tắt, và kết thúc bằng một quy tắc đơn giản để chọn số báo cáo. Mọi con số dưới đây do công cụ tính và được đối chiếu với NumPy, SciPy.
Dữ liệu
Mười ba thời gian giao hàng, tính bằng phút:
12, 15, 11, 18, 22, 15, 14, 30, 13, 16, 17, 15, 45
Phần lớn đơn giao mất 11 tới 22 phút. Một đơn mất 30 phút, một đơn mất 45 phút (giả sử sai địa chỉ). Dán dãy số vào công cụ, kết quả:
| Đại lượng | Giá trị |
|---|---|
| Trung bình | 18,69 |
| Trung vị | 15 |
| Mốt | 15 (ba lần) |
| Độ lệch chuẩn mẫu | 9,31 |
| Q1, Q3 (bản lề Tukey) | 14, 18 |
| Ngoại lệ (vượt 1,5 × IQR) | 30, 45 |
| Khoảng tin cậy 95% cho trung bình | 13,06 tới 24,32 |
Câu chuyện đã lộ ra: trung bình cao hơn trung vị gần bốn phút, độ lệch chuẩn lớn hơn nhiều so với độ phân tán của các đơn bình thường, và khoảng tin cậy rộng tới mười một phút.
Một giá trị làm được gì
Bỏ giá trị 45 rồi tính lại; sau đó bỏ thêm giá trị 30:
| Dữ liệu | n | Trung bình | Trung vị | Độ lệch chuẩn | KTC 95% cho trung bình |
|---|---|---|---|---|---|
| Đủ 13 giá trị | 13 | 18,69 | 15 | 9,31 | 13,06 tới 24,32 |
| Bỏ 45 | 12 | 16,50 | 15 | 5,14 | 13,23 tới 19,77 |
| Bỏ 30 và 45 | 11 | 15,27 | 15 | 3,04 | 13,23 tới 17,31 |
Trung vị không đổi. Trung bình giảm hơn ba phút. Độ lệch chuẩn giảm hai phần ba, vì nó bình phương khoảng cách tới trung bình: giá trị 45 cách trung bình 26 phút, và 26² = 676 chiếm phần lớn tổng. Đó là khác biệt cốt lõi giữa hai nhóm đại lượng:
- Trung bình và độ lệch chuẩn dùng độ lớn của mọi giá trị. Chúng hiệu quả khi dữ liệu gần đối xứng và là nền của hầu hết công thức (khoảng tin cậy, kiểm định t, hồi quy).
- Trung vị và tứ phân vị chỉ dùng thứ tự các giá trị. Chúng vững: một giá trị bất thường không kéo chúng đi xa được.
Điều đó không có nghĩa là phải xóa ngoại lệ. Đơn giao 45 phút có thật, khách hàng đã phải chờ. Nếu bạn lập kế hoạch nhân sự, trung bình là con số đúng, vì tổng thời gian bằng trung bình nhân số đơn. Nếu bạn nói với khách rằng giao hàng thường mất bao lâu, trung vị là con số trung thực.
Báo cáo độ phân tán nào
Hãy báo cáo độ phân tán cùng nhóm với số đo trung tâm:
- Trung bình ± độ lệch chuẩn cho dữ liệu gần đối xứng: "16,5 ± 5,1 phút".
- Trung vị kèm tứ phân vị cho dữ liệu lệch: "trung vị 15 phút (IQR 14 tới 18)".
Biểu đồ hộp trong công cụ cho thấy ngay nên chọn gì. Ở đây hộp (Q1 tới Q3) hẹp, trung vị nằm trong hộp, và hai vòng tròn xa bên phải là ngoại lệ. Râu dài hay vòng tròn lệch về một phía nghĩa là dữ liệu lệch, và khi đó trung vị là con số an toàn hơn để làm tiêu đề.
Hai đại lượng nữa có ích: độ lệch là 2,25 với toàn bộ dữ liệu (lệch phải mạnh; 0 là đối xứng) và hệ số biến thiên (độ lệch chuẩn ÷ trung bình) là 50%, cho thấy độ phân tán lớn so với giá trị điển hình.
Mẫu hay tổng thể, và sai số chuẩn
Công cụ hỏi dữ liệu là mẫu hay toàn bộ tổng thể. Mười ba đơn trong số mọi đơn giao là một mẫu, nên độ lệch chuẩn chia cho n − 1 (9,31) chứ không phải n (8,95). Chênh lệch nhỏ dần khi n tăng, nhưng quan trọng với dữ liệu ít và với khoảng tin cậy dưới đây.
Đừng nhầm độ lệch chuẩn với sai số chuẩn của trung bình. Độ lệch chuẩn (9,31) mô tả các đơn giao khác nhau bao nhiêu. Sai số chuẩn, bằng độ lệch chuẩn ÷ √n = 9,31 ÷ √13 = 2,58, mô tả trung bình được ước lượng chính xác đến đâu. Khoảng tin cậy 95% là trung bình ± t × sai số chuẩn, với t lấy từ phân phối Student 12 bậc tự do (2,179), không phải 1,96 của phân phối chuẩn: 18,69 ± 2,179 × 2,58 cho 13,06 tới 24,32. Với ít giá trị, dùng 1,96 sẽ làm khoảng tin cậy hẹp quá mức.
Tứ phân vị phụ thuộc cách tính
Với dữ liệu ít, không có một tứ phân vị "đúng" duy nhất. Với 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9, tứ phân vị thứ ba là:
- 6 theo bản lề Tukey (trung vị của nửa trên: 5, 5, 7, 9);
- 5,5 theo cách bao gồm của Excel QUARTILE.INC và NumPy;
- 6,5 theo cách loại trừ của Excel QUARTILE.EXC và Minitab.
Không cách nào sai. Hãy ghi rõ bạn dùng cách nào, nhất là khi so với số liệu từ phần mềm khác.
Những lỗi thường gặp
- Báo cáo trung bình của dữ liệu lệch (thu nhập, giá nhà, thời gian chờ) như thể đó là giá trị điển hình.
- Xóa ngoại lệ vì chúng bất tiện. Hãy tìm hiểu nguyên nhân; chỉ loại bỏ khi đó là lỗi, và nói rõ.
- Trộn hai nhóm: trung vị với độ lệch chuẩn, hoặc trung bình với IQR.
- Dùng độ lệch chuẩn tổng thể cho một mẫu, làm độ phân tán bị đánh giá thấp.
- Trích sai số chuẩn như thể đó là độ phân tán của dữ liệu. Nó nhỏ hơn nhiều và trả lời câu hỏi khác.
- Dùng 1,96 cho khoảng tin cậy của mẫu nhỏ. Với 13 giá trị, hệ số đúng là 2,179.
- So tứ phân vị từ các phần mềm dùng cách tính khác nhau.
Quy tắc đơn giản
Nhìn biểu đồ hộp trước. Nếu gần đối xứng và không có ngoại lệ, báo cáo trung bình và độ lệch chuẩn (kèm khoảng tin cậy nếu bạn đang ước lượng). Nếu lệch hoặc có ngoại lệ, báo cáo trung vị và tứ phân vị, nhắc tới trung bình nếu tổng số quan trọng. Khi phân vân, báo cáo cả hai: chỉ tốn một dòng và không che giấu gì. Cần tính nhanh, máy tính khoa học luôn sẵn.