Chỉnh hợp, tổ hợp, giai thừa, số nguyên tố, phân tích thừa số và ƯCLN có các bước.
Số nguyên. Kết quả chính xác dù dài bao nhiêu chữ số.
Tính chính xác các bài toán đếm và chia hết với số nguyên dài tùy ý. Tổ hợp: n!, chỉnh hợp nPr, tổ hợp nCr, các dạng có lặp, số Catalan, Fibonacci và Stirling. Số nguyên tố: kiểm tra nguyên tố, phân tích thừa số, φ(n), số ước, tổng ước và danh sách ước, cùng các số nguyên tố trong một khoảng. ƯCLN và đồng dư: ƯCLN, BCNN, hệ số Bézout với từng bước của thuật toán Euclid mở rộng, lũy thừa và nghịch đảo modulo.
Hỏi hai câu: thứ tự có quan trọng không và có được chọn lặp không. Nhất, nhì, ba trong 8 người: 8P3 = 336. Chọn 3 loại topping khác nhau trong 10: C(10, 3) = 120; nếu được chọn trùng: C(12, 3) = 220. Vé Mega 6/45: C(45, 6) = 8.145.060 khả năng.
Dưới 3,3 × 10²⁴, Miller–Rabin với 13 cơ sở nguyên tố tới 41 là chứng minh. Lớn hơn, công cụ dùng Baillie–PSW và báo "có thể là số nguyên tố". Phân tích thừa số dùng Pollard rho và dừng sau hai giây: tích của hai số nguyên tố lớn rất khó phân tích, và mã hóa RSA dựa vào điều đó. Xem thêm chỉnh hợp, tổ hợp và vì sao phân tích thừa số khó.
Chỉnh hợp tính thứ tự (nhất, nhì, ba), tổ hợp thì không (một bộ bài).
Phần đếm tới n = 10.000; kiểm tra nguyên tố và phân tích tới 300 chữ số.
Pollard rho cần khoảng √p bước để tìm thừa số p; tích hai số nguyên tố 20 chữ số trở lên cần lâu hơn nhiều so với hai giây.
Khi a và m nguyên tố cùng nhau, tức ƯCLN(a, m) = 1.
Cập nhật 14 tháng 10, 2026 · Thêm trong nhóm Học tập
